Le modèle gravitaire

C'est un moyen de déterminer les éléments $T_{ij}$ de la matrice de déplacements que l'on souhaite reconstituer. L'idée est de reproduire le phénomène physique de l'attraction de Newton. Une des formulations les plus aboutie est littéralement donnée par:

$$T_{ij}=A_iO_iB_jD_jf(c_{ij})$$ (2.1)

On fait ainsi intervenir :

• Les volumes d'entrée et sortie des zones origines et destinations (déterminés lors de la première étape),
• des "coefficients balances" $A_i$ et $B_j$,
• une fonction $f$ à déterminer.
  

Les coefficients balance sont définis par :

$$\left\{ \begin{array}{l} A_i=\frac{1}{\sum_jB_jD_jf(c_{ij... ...\ B_j=\frac{1}{\sum_iA_iO_if(c_{ij})} \end{array} \right.$$

Ils sont déterminés par itérations successives, en prenant tous les $B_j$ égaux à 1 comme conditions initiales par exemple et jusqu'a convergence du processus. Ceux-ci servent à se caler sur les marges. Effectivement dans l'équation (2.1), en sommant les $T_{ij}$ sur j, on retrouve $O_i$ en ramplaçant les $A_i$ et $B_j$ par leurs valeurs respectives.

La fonction $f$ dite fonction d'impédance met en évidence la relation au coût de déplacement, intrinsèque à l'éloignement respectif des zones. Les formes les plus utilisées pour cette fonction sont :

$$f(c_{ij})=e^{-\beta c_{ij}}$$

$$f(c_{ij})=c_{ij}^n$$

$$f(c_{ij})=\alpha c_{ij}^n e^{-\beta c_{ij}}$$ (2.2)

La fonction à interpoler est obtenue à partir d'une analyse croisée de la table des déplacements. Ces derniers sont comptabilisés par tranches de 5 minutes par exemple. La représentation graphique du résultat est donnée par la figure (2.1).

Figure: Distribution observée du coût des déplacements en zone urbaine

Etrangement, peut-être par facilité, la plupart des modèles mis en place lors d'études antérieures utilisent l'expression exponentielle seule. Pourtant il semble que la formule la plus élaborée soit celle donnée par l'equation (2.2). Une telle fonction combinant un terme polynomial et un terme exponentiel rend compte de la dépression initiale contrairement à une exponentielle pure qui est strictement décroissante.