Le modèle Logit

Compte tenu du caractère aléatoire des fonctions d'utilité, le modèle donnera pour chaque mode de transport la probabilité qu'un individu le choisisse.
Dérivée de la théorie micro-économique, la procédure de choix se fonde ainsi sur le concept d'utilité aléatoire : nous ferrons l'hypothèse qu'un individu choisira l'alternative qui lui semble la meilleure. En effet dans la pratique, les individus ne choisissent pas toujours ce ce qui est objectivement le meilleur pour eux.
Notons:

$$P_n(i) \;:\; \mbox{la probabilité que l'individu n choisisse le mode i.}$$

D'aprés l'hypothèse précédante, il vient :

$$P_n(i)=P(U_{in}>U_{jn} \; \forall j \neq i )$$

$$\Updownarrow$$

$$P_n(i)=P(\epsilon_{jn}-\epsilon_{in}<V_{in}-V_{jn}\; \forall j \neq i )$$

Le modèle Logit repose sur une hypoyhèse sur la distribution de la composante aléatoire. On suppose que les $\epsilon$ sont iid et suivent une loi de Weibull de fonction de distribution :

$$\mathcal F(\epsilon)=\epsilon^{-e^{-\epsilon}}$$

Cette loi est similaire à une loi normale et permet d'énoncer le théorème suivant :

Théorème 1   Sous les hypothèses décrites ci-dessus, $P_n(i)$ s'écrit comme un modèle Logit multinomial :

$$P_n(i)=\frac{ e^{V_{in}}}{\sum_{j} e^{{V_{jn}}}}$$ (2.4)

Preuve Voir ([2],annexe 2)

Remarque :

Pour ne pas négliger les variables non prises en compte dans la spécification des $V_{in}$, nous sommes amenés à introduire un terme constant pour chacune des utilités. On a alors:

$$V_{in}=\theta_{i_0}+\theta _{i_1}X_{i_{1}n}+\dots$$

Arbitrairement, nous prendrons la constante associée à l'utilité ML égale à 0. En effet d'aprés l'equation (2.4), on montre rapidement que le terme constant est défini à une translation près. Le logiciel crée ajoute ces constantes systématiquement par défaut.